Question

在中，两个定点，的垂心H（三角形三条高线的交点）是AB边上高线CD的中点。

（1）求动点C的轨迹方程；

（2）斜率为2的直线交动点C的轨迹于P、Q两点，求面积的最大值（O是坐标原点）。

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）设动点C（x,y）则D(x,0)。

因为H是CD的中点，故，

因为  所以 故

整理得动点C的轨迹方程.                             ……4分

（2）设并代入得

   ,即,               ……6分

又原点O到直线l的距离为,                                      ……8分

                  ……11分

当且仅当即时等号成立，故面积的最大值为。

……13分

考点：本小题主要考查轨迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，三角形面积公式以及基本不等式的应用，考查学生综合运用所学知识求解问题的能力.