Question

已知函数 ，为的导数.

（1）当时，求的单调区间和极值；

（2）设，是否存在实数，对于任意的，存在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）在单调递减，在单调递增，极大=极小=

（2）存在符合要求

【解析】

试题分析：（1）当时，，，

令得：、，                                       ……2分

所以在单调递减，在单调递增，              ……4分

所以极大=极小=                          ……6分

（2）在上是增函数，故对于，.

设.

，

由，得.                                               ……8分

要使对于任意的，存在使得成立，只需在上，

-， 

在上；在上，

所以时，有极小值                  ……10分

又，

因为在上只有一个极小值，故的最小值为  ……12分

 解得.                                 ……14分

考点：本小题主要考查用导数研究函数的单调性、极值、最值及探究性问题的求解.