Question

已知椭圆的上、下焦点分别为N、M，若动点满足

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）直线,设倾斜角为的直线过点，交轨迹于两点 ，交直线于点.若，求的最小值．

Answer

（1）（2）|AR|·|BR|的最小值为.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)设,则，，………2分

所以                           ………4分

                                                ………6分

(Ⅱ)设直线l2的方程为，与抛物线方程联立消去y得x2-4kx-4=0．

记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则.          ………8分

因为直线PA的斜率k≠O，易得点R的坐标为 .       ………9分

|AR|·|BR|=|x1-xR|·|x2-xR|

=(1+k2)·(x1+)(x2+)=(1+k2) x1 x2+(+2 k)( x1+x2)+ +4

= -4(1+k2)+4k(+2k)+ +4=4(k2+)+8，       ………………………13分

又α∈（0，],k∈（0，],在（0，]递减

从而|AR|·|BR|的最小值为.          ………15分

考点：抛物线，直线与抛物线