Question

（本题15分）如图，在四棱锥中，底面，， ，， ，是的中点。

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer

（1）四棱锥中，因底面，故，结合，平面，进而证明

（2）根据底面在底面内的射影是，，，从而证明。

（3）

【解析】

试题分析：解法一：

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，

故．

，平面．

而平面，．…………………4分

（Ⅱ）证明：由，，可得．

是的中点，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面内的射影是，，．

又，综上得平面． …………………9分

（Ⅲ）过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．设，

可得

．

在中，，，

则．

在中，．

所以二面角的正切值为．  ………………15分

解法二：

（Ⅰ）证明：以AB、AD、AP为x、y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=a.

…………………5分

（Ⅱ）证明：

…………………9分

（Ⅲ）设平面PDC的法向量为

则

又平面APD的法向量是

，所以二面角的正切值是 …………………15分

考点：二面角，线面的垂直关系