Question

（本题15分）已知点是椭圆E：（）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设A、B是椭圆E上两个动点，（）．求证：直线AB的斜率为定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

Answer

(1)  (2)根据已知的向量的坐标关系，结合点差法来得到直线的斜率。

(3)

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）∵PF1⊥x轴，

∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），

|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，

椭圆E的方程为：；…………………4分

（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由 得

（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=（1,- ），

所以x1+x2=-2，y1+y2=（2-）………①

又，，

两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+ 4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②

以①式代入可得AB的斜率k=为定值； ……………9分

（Ⅲ）设直线AB的方程为y=x+t，

与联立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0,   △=3（4-t2），

AB|=，

点P到直线AB的距离为d=,

△PAB的面积为S=|AB|×d=, ………10分

设f（t）=S2=（t4-4t3+16t-16） （-20，当t∈（-1,2）时，f’（t）<0，f（t）=-1时取得最大值，

所以S的最大值为．此时x1+x2=-t=1=-2，=3． ………………15分

考点：椭圆的方程，向量