Question

（本小题满分13分）如图所示，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是棱上的动点．

（Ⅰ）若是的中点，求证：//平面；

（Ⅱ）若，求证：；

（III）在（Ⅱ）的条件下，若，求四棱锥的体积．

Answer

（1）根据底面为菱形， 所以为的中点．

因为 是的中点，所以从而得证。

（2）根据已知的条件得到平面，然后结合线面垂直的性质定理得到结论

（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明:连结，交于．

因为底面为菱形， 所以为的中点．

因为 是的中点，所以 ，

因为平面，平面，

所以平面． …………………4分

（Ⅱ）证明：因为底面为菱形，

所以，为的中点．

因为，所以 ．   

因为，所以 平面．因为平面，

所以 ．                   ………………………………8分

（Ⅲ）因为，所以△为等腰三角形 ．

因为为的中点，所以．

由（Ⅱ）知，且，

所以平面，即为四棱锥的高． 

因为四边形是边长为2的菱形，且，

所以．

所以 ．              ……………12分

考点：线面平行，线线垂直，体积的问题