Question

（本小题满分14分）已知函数，其中

（Ⅰ）求在上的单调区间；

（Ⅱ）求在（为自然对数的底数）上的最大值；

（III）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？

Answer

(1)在上的单调减区间为， ：单调增区间为 

(2)在上的最大值为2

(3) 对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得△是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为

当时，，

解得到；解得到或．所以在上的单调减区间为， ：单调增区间为     ………………4分

（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）知在和上单调递减，在上单调递增，从而在处取得极大值．

又，所以在上的最大值为2．……………………6分

②当时，，当时，在上单调递增，所以在上的最大值为．所以当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为2.                             …………………………8分

（Ⅲ）假设曲线上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则只能在轴的两侧，不妨设，则，且． …9分

因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，

即：（1）             ……………………………………10分

是否存在点等价于方程（1）是否有解．

若，则，代入方程（1）得：，此方程无解.…11分

若，则，代入方程（1）得到：             ……12分

设，则在上恒成立．所以在上单调递增，从而，即有的值域为（不需证明），所以当时，方程有解，即方程（1）有解．

所以，对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得△是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．       …………………14分

考点：导数的运用。