Question

（本题满分12分）如图，在长方体中，已知上下两底面为正方形，且边长均为1；侧棱，为中点，为中点，为上一个动点.

（Ⅰ）确定点的位置，使得；

（Ⅱ）当时，求二面角的平

面角余弦值.

Answer

(1)根据已知中的线线垂直关系， 来结合线面垂直的判定定理来分析线面垂直，这类试题先是猜想点的位置，然后加以证明。

(2)

【解析】

试题分析：方法一：

(Ⅰ)如图，

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则

易得 ………………2分

由题意得,设

又

则由得，

∴,得为的四等分点.………………………6分

(Ⅱ)易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为

则,得，取，得， ……………10分

∴，∴二面角的平面角余弦值为.12分

方法二：

（Ⅰ）∵在平面内的射影为，且四边形为正方形，为中点， ∴

同理，在平面内的射影为，则

由△～△， ∴,得为的四等分点. …………………6分

（Ⅱ）∵平面,过点作，垂足为；

连结，则为二面角的平面角；…………………………8分

由，得,解得

∴在中，,

∴；∴二面角的平面角余弦值为. …12分

考点：二面角以及线面垂直问题