Question

（本题满分13分）已知△的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于．

（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；

（Ⅱ）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合) 试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.

Answer

(1) 当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；

当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；

当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；

当时  轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点

(2) 直线过定点 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题知： 

化简得：                  ……………………………2分

当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；

当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；

当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；

当时  轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点；

……………………………6分

（Ⅱ）设 

依题直线的斜率存在且不为零，则可设:，

代入整理得

，，               ………………………………9分

又因为不重合，则

的方程为 令，

得

故直线过定点.                        ……………………………13分

解二：设

依题直线的斜率存在且不为零，可设:

代入整理得：

,，                ……………………………9分

的方程为  令，

得

直线过定点                        ……………………………13分

考点：考查了圆锥曲线方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系