Question

（本题满分14分）已知函数．

（Ⅰ）当时，函数取得极大值，求实数的值；

（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内存在导数，则存在，使得. 试用这个结论证明：若函数（其中），则对任意，都有；

（Ⅲ）已知正数满足，求证：对任意的实数，若时，都有.

Answer

（1）

（2）构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后借助于函数的导数判定单调性，然后证明最小值大于零即可。而第三问中，在上一问的基础上，运用结论放缩得到证明。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题设，函数的定义域为，且

所以，得，此时.

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减.

函数在处取得极大值，故       …………………………4分

（Ⅱ）令，

则.

因为函数在区间上可导，则根据结论可知：存在

使得                      …………………………7分

又，

当时，，从而单调递增，；

当时，，从而单调递减，；

故对任意，都有         . …………………………9分

（Ⅲ），且，，

同理，      …………………………12分

由（Ⅱ）知对任意，都有，从而

．

…………………………14分

考点：考查了导数的运用