Question

（本小题满分13分）如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图，俯视图，在直观图中，M是BD的中点，N是BC的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

（1）求该几何体的体积；

（2）求证：AN∥平面CME；

（3）求证：平面BDE⊥平面BCD

Answer

(1)4 ；(2)连接MN，则MN∥CD，且.又AE∥CD，且，

∴∥，=∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面CME  (3)∵AC＝AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD则(2)知：AN∥EM,∴EM⊥平面BCD，又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD 

【解析】

试题分析：(1)由题意可知：四棱锥B－ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，

AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，  …………2分

则四棱锥B－ACDE的体积为：，

即该几何体的体积为4    …………4分

(2)证明：由题图知，连接MN，则MN∥CD，

且.又AE∥CD，且，                    …………6分

∴∥，=∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.

∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面CME         ……………8分

(3)证明：∵AC＝AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC,

又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD                      …………10分

则(2)知：AN∥EM,

∴EM⊥平面BCD，又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD       ……13分

考点：本题考查了空间中的线面关系