Question

（本小题满分14分）如图，已知直线OP₁，OP₂为双曲线E:的渐近线，△P₁OP₂的面积为，在双曲线E上存在点P为线段P₁P₂的一个三等分点，且双曲线E的离心率为.

（1）若P₁、P₂点的横坐标分别为x₁、x_2­，则x₁、x₂之间满足怎样的关系？并证明你的结论；

（2）求双曲线E的方程；

（3）设双曲线E上的动点,两焦点,若为钝角,求点横坐标的取值范围.

Answer

（1）∴x1·x2＝;（2）－＝1;（3）－，－2)∪(2，)

【解析】

试题分析：（1）设双曲线方程为－＝1，由已知得＝

∴＝ ∴渐近线方程为y＝±x   …………2分

则P1(x1，x1) P2(x2­，－x2)

设渐近线y＝x的倾斜角为θ，则tanθ＝ ∴sin2θ＝＝

∴＝|OP1||OP2|sin2θ＝·

∴x1·x2＝                                              …………5分

（2）不妨设P分所成的比为λ＝2，P(x，y)， 则

x＝ y＝＝

∴x1＋2x2＝3x x1－2x2＝2y                                    …………7分

∴(3x)2－(2y)2＝8x1x2＝36

∴－＝1 即为双曲线E的方程                                …………9分

（3）由（2）知C＝，∴F1(－，0) F2(，0) 设M(x0，y0)

则y＝x－9，＝(－－x0，－y0) ＝(－x0，－y0)

∴·＝x－13＋y＝x－22                     …………12分

若∠F1MF2为钝角，则x－22＜0

∴|x0|＜ 又|x0|＞2

∴x0的范围为(－，－2)∪(2，)            ……14分

考点：本题考查了双曲线的方程、性质及数量积的运用