Question

本小题满分12分）设M是由满足下列条件的函数f (x)构成的集合：①方程f (x)一x=0有实根；②函数的导数满足0＜＜1.

(1)若函数f(x)为集合M中的任意一个元素，证明：方程f(x)一x=0只有一个实根；

（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

(3)设函数f(x)为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意，

证明：

Answer

(1)令，则，故是单调递减函数,

所以，方程，即至多有一解，又由题设①知方程有实数根，所以，方程有且只有一个实数根；(2)；(Ⅲ)不妨设，∵,∴单调递增，∴,即，

令，则，故是单调递减函数，

∴,即，

∴，则有

【解析】

试题分析：令，则，故是单调递减函数,

所以，方程，即至多有一解，

又由题设①知方程有实数根，

所以，方程有且只有一个实数根…………………………………..4分

(2)易知，，满足条件②；

令，

则，…………………………………..7分

又在区间上连续，所以在上存在零点，

即方程有实数根，故满足条件①，

综上可知，……………………………………8分

(Ⅲ)不妨设，∵,∴单调递增，

∴,即，

令，则，故是单调递减函数，

∴,即，

∴，则有….……………..….12分

考点：本题考查了导数的运用