Question

（本小题满分13分）已知椭圆C₁：的离心率为，直线l: y-＝x＋2与.以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．

（1）求椭圆C₁的方程；

（ll）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₂过点F价且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；

（III）过椭圆C₁的左顶点A作直线m，与圆O相交于两点R，S，若△ORS是钝角三角形，     求直线m的斜率k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由              ………………2分

由直线

所以椭圆的方程是                      …………………4分

（Ⅱ）由条件，知|MF2|=|MP|。即动点M到定点F2的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是。     …………8分

（Ⅲ）由（1），得圆O的方程是

设

得 

则                 ……………9分

由     ①…………10分

因为

所以                                          ②……12分

由A、R、S三点不共线，知。                       ③

由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是……13分

考点：本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系