Question

（本小题满分13分）

已知R，函数．

（1）求的单调区间；

（2）证明：当时，．

Answer

（1）当时，恒成立，此时的单调区间为 

当时，，此时的单调递增区间为和，

单调递减区间为

（2）构造函数，利用放缩法的思想来求证不等式的成立。

【解析】

试题分析：【解析】
（1）由题意得 ………2分

当时，恒成立，此时的单调区间为 ……4分

当时，，

此时的单调递增区间为和，

单调递减区间为 ……………6分

(2)证明：由于，所以当时，

 …………8分

当时，……10分

设，则，

于是随的变化情况如下表：

0

1

0

1

减

极小值

增

1

所以， …………12分

所以，当时，，

故 …………13分

（2）另【解析】
由于，所以当时，．

令，则．

当时，在上递增， ………8分

当时，，在上递减，在上递增，所以．

故当时， ………10分

当时，．

设，则，

③当时，在上递减， ……11分

④当时，在上递减，在上递增，所以

．

故当时，．

故 …………13分

考点：本试题考查了导数在研究函数中点运用。