Question

（本小题满分13分）

已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．

设数列的前项和，

（1）求数列的通项公式；

（2）数列中，令，，求；

（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数．

Answer

（1） ；

（2）；

（3）数列共有个变号数，即变号数为。

【解析】

试题分析：（1）∵的解集有且只有一个元素，∴，

当时，函数在上七彩教育网递增，故不存在，使得不等式成立----------------2分

当时，函数在上七彩教育网递减，故存在，使得不等式成立。

综上七彩教育网，得，，∴，

∴  ---------------4分

（2）∵     ∴ 

∴ --------------------8分

（3）解法一：由题设------------9分

∵时，，

∴时，数列递增-------------------10分

∵，由，可知，即时，有且只有个变号数；

又∵，即，∴此处变号数有个．

综上七彩教育网得 数列共有个变号数，即变号数为-----------13分

解法二：由题设-----------(9分)

时，令；

又∵，∴时也有．

综上七彩教育网得：数列共有个变号数，即变号数为-----------13分

考点：本题主要考查函数的概念，等差数列、等比数列的的基础知识，“错位相消法”，简单不等式的解法。