Question

已知函数在处取得极小值2．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的极值；

（3）设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围．

Answer

（1）

（2）当时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2

（3）

【解析】

试题分析：（1）∵函数在处取得极小值2，

∴，                                                                     ……1分

又，

∴      

由②式得m=0或n=1，但m=0显然不合题意，

∴，代入①式得m=4   

∴                                                                      ……2分

经检验，当时，函数在处取得极小值2，                         ……3分

∴函数的解析式为.                                              ……4分

（2）∵函数的定义域为且由（1）有,

令，解得： ,                                                      ……5分

∴当x变化时，的变化情况如下表：                                        ……7分

x

-1

1

—

0

+

0

—

减

极小值-2

增

极大值2

减

∴当时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2,               ……8分

（3）依题意只需即可．

∵函数在时，；在时，且,

∴ 由（2）知函数的大致图象如图所示：

∴当时，函数有最小值-2,                                               ……9分

又对任意，总存在，使得,

∴当时，的最小值不大于-2,                                         ……10分

又      

①当时，的最小值为,

∴得；                                                         ……11分

②当时，的最小值为

∴得；                                                           ……12分

③当时，的最小值为

∴得或

又∵

∴此时a不存在,                                                                  ……13分

综上所述，a的取值范围是．                                       ……14分

考点：本小题主要考查导数的性质及其应用.