Question

图1，平面四边形关于直线对称，，，．把沿折起（如图2），使二面角的余弦值等于．

对于图二，完成以下各小题：

（Ⅰ）求两点间的距离；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）。                                                                                                                

（Ⅱ）由已知得，推出， 

即，得到平面．

（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取的中点 ，连接 ，

由，得：  

∴就是二面角的平面角，即           2分

在中，解得，又

，解得。        4分                                                                                                                   

（Ⅱ）由，

∴，∴， 

∴，  又，∴平面．     8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面，平面

∴平面平面，平面平面，

作交于，则平面，

就是与平面所成的角。             11分

∴．       13分

方法二：设点到平面的距离为，

∵， ，

∴  ，           11分

于是与平面所成角的正弦为．         13分

方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，

则． 

设平面的法向量为，则

，，，，

取，则，                      11分

于是与平面所成角的正弦．   13分

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，距离及角的计算。