Question

(本小题满分14分)

已知函数（…是自然对数的底数）的最小值为．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）已知且，试解关于的不等式 ；

（Ⅲ）已知且.若存在实数，使得对任意的，都有，试求的最大值．

Answer

(1) (2)构造函数运用导数求解最值得到不等式的证明。

(3) 满足条件的最大整数的值为3．

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）因为，所以，故，

因为函数的最小值为，所以．                ……………… 3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.

当时，，……… 5分

故不等式可化为：

，

即，      ……………… 6分

得，

所以，当时，不等式的解为；

当时，不等式的解为．   …………… 8分

（Ⅲ）∵当且时，，

∴.

∴原命题等价转化为:存在实数，使得不等式对任意恒成立.    …………… 10分

令.

∵，∴函数在为减函数. …………… 11分

又∵，∴.   …………… 12分

∴要使得对，值恒存在，只须．………… 13分

∵，

且函数在为减函数，

∴满足条件的最大整数的值为3．…… 14分

考点：导数，函数。