Question

（本题满分为12分）

已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线的斜率是．

（1）求实数的值；

（2）求在区间上的最大值；

（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？请说明理由．

Answer

（1）（2）当，即时，在上的最大值为2；当，即时，在上的最大值为 ．（3）存在。

【解析】

试题分析：【解析】

（I）当时，则． （1分）

依题意，得 即，解得．    （3分）

（II）由（1）知，

①当时

令得或                                     （4分）

当变化时的变化情况如下表：

0

（）

-

0

+

0

-

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

又

所以在上的最大值为．                                   （6分）

②当时，

当时，，所以的最大值为0 ；

当时，在上单调递增，所以在上的最大值为．（7分）

综上所述，

当，即时，在上的最大值为2；

当，即时，在上的最大值为 ．     （8分） 

（III）假设曲线上存在两点满足题设要求，则点只能在y轴的两侧．

不妨设，则，显然

因为是以为直角顶点的直角三角形，

所以，即    ①

若方程①有解，则存在满足题意的两点；若方程①无解，则不存在满足题意的两点

若，则，代入①式得，

即，而此方程无实数解，因此．                        （10分） 

此时，代入①式得,即   ②

令，则，所以在上单调递增，

因为，所以，当时，，所以的取值范围为．所以对于，方程②总有解，即方程①总有解．

因此对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y轴上．                （12分） 

考点：导数的运算；函数的最值与导数的关系。