Question

（本小题满分12分）如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求多面体的体积。

Answer

（1），平面，连结，则是的中点，,在△中，∴∥平面（2）∵平面，∥，∴平面，∴∵面是正方形，∴， ∴，∴（3）

【解析】

试题分析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形． 连结，则是的中点，,在△中，， 且平面，平面，∴∥平面   ……4分

（2） ∵平面，∥，∴平面，∴，

∵面是正方形，∴， ∴，∴．    ……8分

（3）因为平面，平面, ,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形 是矩形,且侧面⊥平面，取的中点,,且平面．

所以多面体的体积． ……12分

考点：三视图，线面平行垂直的判定及锥体体积