Question

（本小题满分12分）

设函数，其中表示不超过的最大整数，如.

 （1）求的值；

（2）若在区间上存在x，使得成立，求实数k的取值范围；

（3）求函数的值域.

Answer

（1）；（2）；（3）。

【解析】

试题分析：（1）因为，所以 ------2分

（2）因为，所以,          -------------------3分

则.

求导得，当时，显然有,

所以在区间上递增,                -------------------4分

即可得在区间上的值域为,

在区间上存在x，使得成立，所以. ---------------6分

（3）由于的表达式关于x与对称，且x>0，不妨设x³1.

当x=1时，=1，则;           ----------------------7分

当x>1时，设x= n+，nÎN*，0£<1.

则[x]= n，，所以.   -----------------8分

，

在[1，+¥)上是增函数，又，

,

当时，

当时，                  … 10分

故时，的值域为I1∪I2∪…∪In∪…

设,

则.

,

\当n³2时，a2= a3< a4<…< an<…

又bn单调递减，\ b2> b3>…> bn>…

\[ a2，b2)= I2I3I4…In…       ----------------------11分

\ I1∪I2∪…∪In∪… = I1∪I2=

综上所述，的值域为. ----------------------12分

考点：函数性质的综合应用；利用导数研究函数的单调性；函数的值域。