Question

（本小题满分12分）

在四棱柱中，底面是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=，AB=PB=PC=BC=2CD=2，平面PBC⊥平面ABCD

（1）求证：AB⊥平面PBC

（2）求三棱锥C－ADP的体积

（3）在棱PB上是否存在点M使CM∥平面PAD？

若存在,求的值。若不存在,请说明理由。

Answer

（1）证明：因为∠ABC=，所以AB⊥BC。因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB平面ABCD，所以AB⊥平面PBC ；（2） ；（3）在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时

【解析】

试题分析：（1）证明：因为∠ABC=，所以AB⊥BC。    （1分）

因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC

AB平面ABCD，所以AB⊥平面PBC                  （4分）

（2）取BC的中点O，连接PO

因为PB=PC，所以PO⊥BC

因为平面PBC⊥平面ABCD

平面PBC∩平面ABCD=BC,PO平面PBC

所以PO⊥平面ABCD                               （5分）

在等边△PBC中PO=

           (8分)

（3）在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时

证明：取AB的中点N，连接CM，CN，MN

则MN∥PA,AN=

因为AB ="2CD" 所以AN=CD

因为AB ∥CD所以四边形ANCD是平行四边形。

所以CN∥AD

因为MN∩CN=N,PA∩AD=A

所以平面MNC∥平面PAD                                 （10分）

因为平面MNC

所以CM∥平面PAD                                      （ 12分）

考点：本题考查了空间中的线面关系