Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，讨论的单调性；

（Ⅱ）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）当时，函数在（０，１）上单调递减；

函数在（１，＋∞）上单调递增；

当时，函数在（0，+∞）上单调递减；

当时，函数在（0，1）上单调递减； 

函数在上单调递增；

函数上单调递减，

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为

所以

令

（1）当

所以，当，函数单调递减；

当时，，此时单调递

（2）当

即，解得

①当时，恒成立，

此时，函数在（0，+∞）上单调递减；

②当

时，单调递减；

时，单调递增；

，此时，函数单调递减；

③当时，由于

时，，此时，函数单调递减；

时，，此时，函数单调递增。

综上所述：

当时，函数在（０，１）上单调递减；

函数在（１，＋∞）上单调递增；

当时，函数在（0，+∞）上单调递减；

当时，函数在（0，1）上单调递减； 

函数在上单调递增；

函数上单调递减，

（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，

，当，

函数单调递减；当时，

函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为

由于“对任意，存在，使”等价于

“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）

又，所以

①当时，因为，此时与（*）矛盾；

②当时，因为，同样与（*）矛盾；

③当时，因为

解不等式，可得

综上，的取值范围是

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值。