Question

已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

Answer

（Ⅰ）由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，得到PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）.(Ⅲ) .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连结AC、BD，设.

由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.

所以

于是.

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），， 

，设是平面QAD的一个法向量，由

得.

取x=1，得.

所以点P到平面QAD的距离.

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，距离及角的计算。