Question

已知函数。

（Ⅰ）设，讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

Answer

（I） 所以在各区间内的增减性如下表：

区间

（，）

（，t）

（t，1）

（1，+）

的符号

+

+

+

的单调性

增函数

减函数

增函数

增函数

（II）a的取值范围为（，2）

【解析】

试题分析：（I） 的定义域为（，1）（1，）

因为（其中）恒成立，所以

⑴ 当时，在（，0）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；

⑵ 当时，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；

⑶ 当时，的解为：（，）（t，1）（1，+）

（其中）

所以在各区间内的增减性如下表：

区间

（，）

（，t）

（t，1）

（1，+）

的符号

+

+

+

的单调性

增函数

减函数

增函数

增函数

（II）显然

⑴ 当时，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有；

⑵ 当时，是在区间 0，1上的最小值，即，这与题目要求矛盾；

⑶ 若，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有。

综合⑴、⑵、⑶ ，a的取值范围为（，2）

考点：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，函数的恒成立问题。