Question

如图，在长方体中，，且．

（I）求证：对任意，总有；

（II）若，求二面角的余弦值；

（III）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在, 求出的值, 若不存在，说明理由．

Answer

（I）见解析（II）（III）存在

【解析】

试题分析：（I）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，

，从而，

，即．                                             ……4分

（II）由（Ｉ）及得，，

设平面的法向量为，则，

从而可取平面的法向量为，

又取平面的法向量为，且设二面角为，

所以                                              ……8分

（III） 假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，

即，即，

解得 ．

所以存在满足题意得实数，

使得在平面上的射影平分.                                     ……12分

考点：本小题主要考查长方体中的线线垂直的证明、二面角的求法及综合应用问题，考查学生的空间想象能力和利用空间向量解决立体几何问题的能力，考查学生的空间想象能力和运算求解能力以及分析问题解决问题的能力.