Question

几何体的三视图如图，与交于点，分别是直线的中点，

（I） 面；

（II）面；

（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值．

Answer

（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：由三视图知，四边形．均为边长为的正方形，且

面

几何体是直三棱柱．．．．．．．．．．．．．．．2分

（1）连接，分别为的中点

，面，面

面．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）法一：在中，由得

同理在中可得，在中可得

由是直线的中点得，而

又 

面．．．．．．．．．．．．．．．8分

法二：如图以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标，则

,,,,，则

设面的一个法向量为，则

取，则，面的一个法向量为

所以，面．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）如图以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标，则

,,,,,

因为面，是面的一个法向量．

，

设面的一个法向量为，则

取，则，面的一个法向量为

所以二面角的平面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．13分

考点：三视图；线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理；二面角。