Question

（本小题满分12分）已知椭圆，离心率为的椭圆经过点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线分别与椭圆交于和，是否存在常数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）存在实数，使得.理由见解析

【解析】

试题分析：（1）由题可知，即，

由此得，故椭圆方程是，

将点的坐标代入，得，解得，

故椭圆方程是.                                                ……4分

（2）问题等价于，即是否是定值问题.

椭圆的焦点坐标是，不妨取焦点，

当直线的斜率存在且不等于零时，

设直线的斜率为，则直线的方程是，

代入椭圆方程并整理得 

设，则.                  ……6分

根据弦长公式，

 =

==                                       ……8分

以代换，得                       ……9分

所以 

即                                         ……10分

当直线的斜率不存在或等于零时，

一个是椭圆的长轴长，一个是通径长度，

此时，即.

综上所述，故存在实数，使得.         ……12分

考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求解和直线与椭圆的位置关系以及弦长公式的应用，考查学生的转化能力和运算能力.