Question

（本小题满分12分）已知函数

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围；

（3）若对任意，且恒成立，求的取值范围。

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）当时，.         ……1分

因为.所以切线方程是                           ……3分

（2）函数的定义域是. 

当时，

令，即，

所以或.                                                     ……4分

当，即时，在［1，e]上单调递增，

所以在［1，e]上的最小值是；

当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意；

当时，在（1，e）上单调递减，

所以在［1，e]上的最小值是，不合题意

综上的取值范围.                                                  ……7分

（3）设，则，

只要在上单调递增即可.                                      ……8分

而

当时，，此时在上单调递增；               ……9分

当时，只需在上恒成立，因为，

只要，则需要，                                    ……10分

对于函数，过定点（0，1），对称轴，

只需，即. 

综上.                                                        ……12分

考点：本小题主要考查利用导数求切线方程、求单调性以及解决恒成立问题，考查学生的运算求解能力和转化能力.