Question

已知函数f(x)=(x²+ax+2)e^x,(x,a∈R).

(1)当a=0时，求函数f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数y=f(x)为单调函数，求实数a的取值范围;

(3)当时，求函数f(x)的极小值.

Answer

(1) 5ex-y-2e=0 (2) ［-2,2］ (3)

【解析】

试题分析：f′(x)=ex［x2+(a+2)x+a+2］

(1)当a=0时，f(x)=(x2+2)ex,f′(x)=ex(x2+2x+2),f(1)=3e,

f′(1)=5e,

∴函数f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0.

(2)f′(x)=ex［x2+(a+2)x+a+2］,

考虑到ex>0恒成立且x2系数为正.

∴f(x)在R上单调等价于x2+(a+2)x+a+2≥0恒成立.

∴(a+2)2-4(a+2)≤0.

解得-2≤a≤2,即a的取值范围是［-2,2］,

(3)当时，f(x)=,

f′(x)=

令f′(x)=0,得或x=1.

令f′(x)>0,得或x>1.

令f′(x)<0，得

x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表

所以，函数f(x)的极小值为

考点：利用导数求切线斜率，求函数极值最值