Question

（本题满分18分）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．

（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．

（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．

（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值．

Answer

（1）具有“性质”，其中

（2）当时， ；当时，

（3）

【解析】

试题分析：（1）由得，

根据诱导公式得．

具有“性质”，其中．                ……4分

（2）具有“性质”，．

设，则，

，                                          ……6分

当时，在递增，时，

当时，在上递减，在上递增，且， 时，

当时，在上递减，在上递增，且，时

综上所述：

当时， ；当时，.   ……11分

（3）具有“性质”，

，，

，

从而得到是以2为周期的函数．

又设，则，

．

再设（），

当（），则，

；

当（），则，；

对于，（），都有，而，，是周期为1的函数．

①当时，要使得与有2013个交点，只要与在有2012个交点，而在有一个交点．过，从而得

②当时，同理可得

③当时，不合题意．

综上所述.                                               ……18分

考点：本小题主要考查新定义下函数性质的考查，考查学生利用新定义解决问题的能力和分类讨论思想的应用.