Question

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数．

（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；

（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；

（3）对于确定的时，，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer

（1）因为关于原点对称， 又函数的图像关于直线对称，所以 又，  用代替得可知，

．即函数是偶函数；（2）；（3） ．

【解析】

试题分析：因为关于原点对称， 又函数的图像关于直线对称，

所以， 又，用代替得可知，

．即函数是偶函数；

（2）当时，

；

（3）当时，

显然时，函数在区间上不是单调函数 

又时，是增函数，

此时

若函数在区间上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有

，解得 ．

考点：本题考查了函数的性质