Question

（14分）已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交轨迹于两点，点O是直角坐标系的原点，求面积的最小值，并求出当的面积取到最小值时直线的方程。

Answer

（1）（2）面积的最小值为2，此时直线的方程为=1

【解析】

试题分析：（1）设点，则，

由得：，

化简得．                                                    ……6分

（2）当直线与轴垂直时，、，

所以；                                              ……8分

当直线与轴不垂直时，可设直线的方程为，、，

将抛物线方程与直线方程联立，消去整理得：，

所以有，

所以=， ……13分

所以面积的最小值为2，此时直线的方程为=1。                  ……14分

考点：本小题主要考查平面向量的数量积运算、抛物线标准方程的求解、直线与抛物线的位置关系和三角形面积公式的应用以及最值的求解，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.