Question

（18分）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使.

(1)求曲线的方程；

(2)求实数的值；

(3)求实数的值。

Answer

(1)  (2)  (3)

【解析】

试题分析：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知

故曲线的方程为……6分

（2）设，由题意建立方程组，

消去，得，

又已知直线与双曲线左支交于两点，有

 ，解得，                          ……10分

又∵

依题意得 ，整理后得 ，

∴或，但∴，                   ……14分

（3）设，由已知，得，

∴，

又，，

∴点曲线上，所以，

将点的坐标代入曲线的方程，得，

∴.                                                       ……18分

考点：本小题主要考查平面向量的坐标运算、直接法求双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系和弦长公式的应用等，考查学生对问题的理解能力和转化能力以及较强的运算求解能力.