Question

（本题12分）直线l:y=kx＋1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B.

（Ⅰ）求实数k的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）－2＜k＜ ;

（Ⅱ）k＝－时，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由

据题意：    解得－2＜k＜   ……………5分

（Ⅱ）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）, 则由①式得：

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过双曲线C的右焦点F（，0），则FAFB.

即·＝0，（x1－）（x2－）＋y1y2＝0，

（x1－）（x2－）＋（kx1＋1）（kx2＋1）＝0，

（1＋k2）x1 x2＋（k－）（x1＋ x2）＋＝0，

∴（1＋k2）＋（k－）·＋＝0，

∴5k2＋2－6＝0

∴k＝－或k＝，（－2，－）（舍去）

∴k＝－时，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．…………………12分

考点：本题主要考查直线与双曲线的位置关系。