Question

（本小题满分13分）

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝CC₁，M为AB的中点。

（Ⅰ）求证：BC₁∥平面MA₁C；

（Ⅱ）求证：AC₁⊥平面A₁BC。

Answer

（Ⅰ）设AC1∩A1C=O，连结MO，四边形AA1C1C为矩形，AO=OC1，AO=OC1，AM=MB，所以MO∥BC1，所以∥平面MA1C（Ⅱ）矩形AA1C1C中，因为AC=CC1，所以AC1⊥A1C，直三棱柱ABC－A1B1C1，所以CC1⊥BC，因为AC⊥BC BC⊥平面ACC1A1，所以BC⊥AC1，所以AC1⊥平面A1BC

【解析】

试题分析：（Ⅰ）如图，设AC1∩A1C=O，连结MO，

因为直三棱柱ABC－A1B1C1，

所以四边形AA1C1C为矩形，

所以AO=OC1,

在△AC1B中，因为AO=OC1，AM=MB，

所以MO∥BC1.                      3分

又因为平面MA1C，MO平面MA1C，

所以∥平面MA1C。             6分

（Ⅱ）在矩形AA1C1C中，因为AC=CC1，

所以AC1⊥A1C。                  8分

因为直三棱柱ABC－A1B1C1，

所以CC1⊥BC，

又因为AC⊥BC，AC∩CC1=C，

所以BC⊥平面ACC1A1，        10分

所以BC⊥AC1。               11分

又因为BC∩A1C=C，AC1⊥A1C，

所以AC1⊥平面A1BC。      13分

考点：线面平行垂直的判定与性质