Question

（满分12分）已知点P_n(a_n，b_n)满足a_n＋1＝a_n·b_n＋1，b_n＋1＝ (n∈N^*)且点P₁的坐标为(1，－1)．(1)求过点P₁，P₂的直线l的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N^*，点P_n都在(1)中的直线l上．

Answer

(1)直线l的方程为2x＋y＝1. (2)见解析。

【解析】

试题分析：(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.

∴b2＝＝.     a2＝a1·b2＝. 

∴点P2的坐标为(，)

∴直线l的方程为2x＋y＝1. …………….3分

(2)①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．…………….4分

②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立，…………….6分

则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝ (2ak＋1)…………….8分

＝＝＝1，

∴当n＝k＋1时，命题也成立．                ……………. 10分

由①②知，对n∈N*，都有2an＋bn＝1，

即点Pn在直线l上．                      …………….12分

考点：本题主要考查数列的递推公式，数学归纳法，直线方程。