Question

如图，直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中点.

（1）求证：平面O₁AC平面O₁BD

（2）求二面角O₁－BC－D的大小；

（3）求点E到平面O₁BC的距离.

Answer

(1)只需证BD⊥面O1AC即可；(2)  ；(3) 。

【解析】

试题分析：（1）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，∴AA1⊥面AC，又BD?面AC，所以AA1⊥BD．      又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A

所以BD⊥面AA1C。                                          

即BD⊥面O1AC，又BD?面O1BD，

所以平面O1AC⊥平面O1BD． 

（2）【解析】
过O作OH⊥BC于H，连接O1H，则∠O1HO为二面角O1-BC-D的平面角．    

在Rt△BHO中，OB=2，∠OBH=60°，∴OH=

又O1O∥A1A，∴O1O⊥OH．∴tan∠O1OH= .故二面角O1-BC-D的大小为.

（3）因为E为AO1的中点，所以OE//O1C，所以E到面O1BC的距离等于O到面O1BC的距离，根据等积法即可求出点E到平面O1BC的距离为。

考点：面面垂直的判定定理；二面角；点到面的距离。