Question

（本题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切．

Answer

(1) y2＝2x (2)关键证明AB的中点到准线的距离等于AB的一半。

【解析】

试题分析：【解析】
(1)设抛物线y2＝2px(p>0)，将点(2,2)代入得p＝1.

∴y2＝2x为所求抛物线的方程．

(2)证明：设lAB的方程为：x＝ty＋，代入y2＝2x得：y2－2ty－1＝0，设AB的中点为M(x0，y0)，则y0＝t，x0＝.

∴点M到准线l的距离d＝x0＋＝＋＝1＋t2.又AB＝2x0＋p＝1＋2t2＋1＝2＋2t2，∴d＝AB，故以AB为直径的圆与准线l相切．

考点：抛物线的方程；抛物线的性质。