Question

（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x²－2x—3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上．若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，

(1)求圆C的方程；zxxk

（2）若，求a的值；

(3)若 OA⊥OB，（O为原点），求a的值．

Answer

(1) (x－1)2＋(y+1)2＝5. （2）或；(3) a＝－1. 。

【解析】

试题分析：(1)曲线y＝x2－2x—3与y轴的交点为(0,-3)，与x轴的交点为(-1，0)，(3，0)．

故可设圆C的圆心为(1，t)，则有12＋(t+3)2＝(1+1)2＋t2，解得t＝.

则圆C的半径为.则以圆C的方程为(x－1)2＋(y+1)2＝5.

（2） , 圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为

即，解得或

(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：.

消去y，得到方程2x2＋2ax＋a2+2a-3＝0. 由已知可得，判别式Δ＝24－16a－4a2>0.

从而x1＋x2＝－a，x1x2＝.①

由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，

所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②

由①，②得a＝1,，满足Δ>0，故a＝－1.

考点：本题主要考查圆的定义及标准方程，直线与圆的位置关系。