Question

（本小题满分12分）

已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点.设，又为与不在轴上的两个交点，若的重心(中线的交点)在抛物线上，

(1)求和的方程.

（2）有哪几条直线与和都相切？（求出公切线方程）

Answer

(1) 抛物线的方程为：， 椭圆的方程为：

(2) 有3条直线与和都相切.

【解析】

试题分析：.【解析】
（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，       

所以，即，由 ,             

椭圆的方程为： ,联立抛物线的方程         

得：， 解得：或（舍去），所以 ，

即，所以的重心坐标为.        

因为重心在上，所以，得.所以.              

所以抛物线的方程为：， 椭圆的方程为：.      

(2)因抛物线：开口向下且关于y轴对称，所以与x轴垂直的直线都不是其切线。

所以可设直线y=kx+m与和都相切,                            

则由有相等实根                    

有3条直线与和都相切.

考点：抛物线和椭圆的方程的求解