Question

已知双曲线实轴在轴，且实轴长为2，离心率,  L是过定点的直线.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）判断L能否与双曲线交于,两点，且线段恰好以点为中点，若存在，求出直线L的方程，若不存，说明理由.

Answer

（1）（2）不存在过点P的直线L与双曲线有两交点A、B，且线段AB以点P为中点

【解析】

试题分析：（1）∵2a="2" ，∴a=1，又,∴c=，

∴，

∴标准方程为：.

（2）①：若过点P的直线斜率不存在，则L的方程为：，

此时L与双曲线只有一个交点，不满足题意.

②: 若过点P的直线斜率存在且设为,则L的方程可设为：，

设,AB的中点,

由得，  ①

显然，要有两个不同的交点，则.所以,

要以P为中点，则有，解得,

当时，方程①为：,该方程无实数根，即L不会与双曲线有交点，

所以，不存在过点P的直线L与双曲线有两交点A、B，且线段AB以点P为中点.

考点：本小题主要双曲线的标准方程，双曲线的性质和直线与双曲线的位置关系.