Question

选修4-1：几何证明选讲

如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，且相交于点O ,E是AB边的中点，EO的延长线交CD于F.

（1）求证：EF⊥CD；

（2）若∠ABD=30°,求证

Answer

（1）先证明△AOB≌△DOC, 从而得出∠ODC=∠OAB,进而可以证明结论；

（2）先证明△DOC∽△DFO，利用面积比等于相似比的平方比即可证明.

【解析】

试题分析：（1）∵ △AOB为直角三角形，且E 为AB边的中点，

∴EO="EA=EB," ∴∠EAO=∠EOA, ∠EOB=∠EBO，

又△AOB≌△DOC, ∴∠ODC=∠OAB,

∠EOB=∠DOF(对顶角)，∴∠ODC+∠DOF=90°

∴∠DFO=90°

∴EF⊥CD

(2)∵∠ABD=30°∴∠EOB=∠DOF=30°，

∴在Rt△DOF中，DF=OD，△DOC∽△DFO,

所以根据面积比等于相似比的平方比，知

考点：本小题主要考查两条直线垂直、三角形相似等的证明.