Question

已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，

；当为奇数时，.

（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；

（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；

（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.

Answer

（1）是奇数，则，， 若是偶数，则，，

(2)根据数列的求和公式来证明不等式

(3)要证明对于当(N)时，都有.，则要对于其通项公式分情况来得到其通项公式的表达式证明。

【解析】

试题分析：⑴设，，则：，

分两种情况： 是奇数，则，，

若是偶数，则，，

⑵当时，

∴

⑶∵，∴，∴

由定义可知：  ∴

∴

∴

∵，∴，

综上可知：当时，都有

考点：数列的运用