Question

如图，四棱锥的底面是正方形，⊥底面，点在棱上．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）当且为的中点时，求与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）利用线面垂直证明面面垂直；（Ⅱ） ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

又，∴平面AEC⊥平面PDB．              （6分）

（Ⅱ）方法一：如图1，设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，   

∵O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE=PD，

又∵PD⊥底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，      

在Rt△AOE中，由PD=AB，

设，则，，∴，于是，

即AE与平面PDB所成角的正弦值为．               （12分）

方法二：如图2，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz，

设，AE与平面PDB所成的角为，

则，，，，

于是，所以，

且平面的法向量，所以，

即AE与平面PDB所成角的正弦值为．               （12分）

考点：本题考查了空间中的线面关系及空间角的求法