Question

设为常数，已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数．

（1）设为函数的图像上任意一点，求点到直线的距离的最小值；

（2）若对任意的且，恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵在区间上是增函数，

∴当时，恒成立，即恒成立，所以．

又在区间上是减函数，

故当时，恒成立，即恒成立，所以．

综上，．

由，得，

令，则，而，

所以的图象上处的切线与直线平行，

所以所求距离的最小值为．              （6分）

（Ⅱ）因为，则，

因为当时，恒成立，所以，

因为当时，，所以上是减函数，

从而，

所以当时，，即恒成立，所以．

因为在上是减函数，所以，

从而，即，

故实数的取值范围是．                    （12分）

考点：本题考查了导数运用