Question

已知双曲线与椭圆有相同的焦点，点、分别是椭圆的右、右顶点，若椭圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知是椭圆的右焦点，以为直径的圆记为，过点引圆的切线，求此切线的方程；

（3）设为直线上的点，是圆上的任意一点，是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）存在定点

【解析】

试题分析：（Ⅰ）依题意，，

所以椭圆的方程为，

代入D点坐标，解得，由此得，

所以椭圆的方程为．                     （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故圆的方程为，

则由知，点在圆上，

因为，所以切线的斜率为，

故所求切线的方程为，

即．                           （8分）

（Ⅲ）设，假设存在点满足题意，

则，

点在圆C：上，，

化简得，

因为该式对任意的恒成立，则解得

故存在定点对于直线上的点及圆上的任意一点使得成立．                           （12分）

考点：本题考查了椭圆方程及直线与圆的位置关系