Question

设函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e^x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是

Answer

D

【解析】

试题分析：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）?y'=f'（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，

由x=-1为函数f（x）ex的一个极值点可得，-1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，

所以有a-（b+2a）+b+c=0?c=a．

法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=-，且f（-1）=2a-b，f（0）=a．

对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0符合要求，

对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0不矛盾，

对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=-＞0得到b＞0，f（-1）＜0不矛盾，

对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=-＜-1得到b＞2a，f（-1）＜0于图中f（-1）＞0矛盾，D不对．

法二：得到函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立，故选 D．

考点：本题主要考查应用导数研究函数的极值，二次函数图象和性质。