Question

直棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.

(1)求证：平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C；

(2)在A₁B₁上是否存在一点P，使得DP与平面ACB₁平行？证明你的结论．

Answer

(1)由BB1⊥平面ABCD，得到BB1⊥AC.

又∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，

得到∠CAB＝45°，BC＝， BC⊥AC.

平面ACB1⊥平面BB1C1C.

(2)存在点P，P为A1B1的中点．

【解析】

试题分析：(1)证明：直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，

∴BB1⊥AC.

又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，

∴AC＝，∠CAB＝45°，∴BC＝，∴BC⊥AC.

又BB1∩BC＝B，BB1?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，

∴AC⊥平面BB1C1C.

又∵AC?平面ACB1，∴平面ACB1⊥平面BB1C1C.（6分）

(2)存在点P，P为A1B1的中点．

要使DP与平面ACB1平行，只要DP∥B1C即可因为A1B1∥DC，所以四边形DCB1P为平行四边形，所以B1P＝DC＝A1B1＝1，所以P为A1B1的中点．即当P为A1B1的中点时，DP与平面BCB1和平面ACB1都平行．（12分）

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。